수학적 모델로 증명한 부의 불평등

브루스 보고시안(Bruce M. Boghosian) 터프츠대학교 경제학부 교수가 경제 자체가 갖는 원리에 의해 빈부격차는 반드시 생긴다는 사실과 현실 경제에선 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 문제에 대해 수학적 모델을 이용해 해설했다. 부의 불평등이 필연적으로 생긴다는 점을 수학적 모델로 증명한 것이다.

뭔가 구입할 때 운이 좋게 거래가에 살 수 있다면? 설명에 따르면 이런 이득과 손해가 반복되는 거래가 무한하게 이뤄지면 반드시 재산은 1명에게 집중한다. 보고시안 교수는 부가 1명에게 집중되는 증명으로 게임을 활용한다.

예를 들어 앞면이 나오면 소지금이 20% 늘어나고 뒷면이 나오면 소지금이 17% 줄어든다는 게임을 한다고 치자. 소지금이 100원이었을 때 이 게임을 한 번 할 때의 기댓값을 구하면 ‘20×½+(- 17)×½=1.5’다. 기댓값은 양수가 되고 이 게임은 이득이 될 것 같다. 하지만 이 게임을 10회 플레이해 앞면과 뒷면이 각각 5회씩 나왔다면 ‘100×(1.2)⁵×(0.83)⁵=98.02’다.

말하자면 사실 이 게임은 하면 할수록 손해인 것이다. 이 게임을 현실에 접근한 사고 실험이 바로 야드세일모델이라는 수학 모델이다.

야드세일모델에선 참가자는 각각 2명으로 1세트를 만들어 거래를 한다. 이 거래에선 실제 거래에 있어 거래 가격이었다, 조금 비싸게 됐다는 경우를 모방해 어느 한쪽이 이기고 다른 한쪽이 진다는 설정을 한다. 이기면 거래 참가자 중 가난한 쪽의 소지금 20%를 획득하고 지면 가난한 쪽 소지금의 17%를 잃게 된다. 예를 들어 100원을 갖고 있는 참가자 A와 500원을 보유한 참가자 B가 거래하는데 A가 지고 B가 이겼다고 치자. 이 경우 A는 A의 소지금 17%인 17원을 잃고 소지금은 83원이 된다. 이긴 B는 A의 소지금 20%를 얻어 소지금은 520원이 된다. 거래가 끝난 참가자는 또 다른 참가자와 거래를 하는 등 무한하게 거래하게 된다.

보고시안 교수에 따르면 야드세일모델이 계속되면 단 1명이 모든 참가자의 소지금을 획득하고 다른 참가자의 소지금은 제로가 된다는 부의 독점이 반드시 생긴다. 이런 부의 독점은 참가자 인원이나 참가자가 시작할 때 소지금과 관계없이 반드시 발생한다.

현실 세계에겐 참가자는 거래를 할 때 승부가 50%라는 건 있을 수 없다. 이 실험 결과에 대해 보고시안 교수는 자유경제시장은 오래될수록 소지금을 잃는 연속성 있는 게임과 같다면서 더구나 자유경제시장을 떠나는 건 불가능하다고 말한다.

보고시안 교수 연구팀은 야드세일모델을 더 현실에 접근시키기 위해 3가지를 추가했다. 하나는 부의 평균. 현실은 부유층에 대한 고액 세금과 빈공층에 대한 보조금이 존재하는 만큼 거래 후 각각 소지금을 평균치에 접근시킨다. 다음은 정보 격차. 부유층은 대출 금리 하락과 금융 자문 등 경제적으로 유리한 정보를 얻을 수 있는 만큼 거래 후 부유층에 유리하게 조언을 해준다. 마지막은 부채. 모기지나 학자금 대출 등 부채를 고려해 참가자별 소지금이 마이너스가 되어도 좋지만 끝없는 부채는 없는 만큼 소지금의 마이너스값에 한계를 설정한다는 것이다.

이렇게 3가지를 추가한 뒤 야드세일모델을 실시한 결과 참가자별 자산 분포가 상당히 현실적인 게 됐다고 한다. 3가지 추가를 한 보정값을 적절하게 설정하면 30년간 미국 자산 분포를 오차 0.2% 이하로 표현할 수 있다고 설명한다.

수학적 모델을 이용한 실험 결과에 대해 보고시안 교수는 자유시장경제에서의 부의 자연적 분포와 완전한 독점이라고 설명했다. 따라서 중요한 건 부의 재분배라는 것이다. 신중하게 설계된 재분배 메커니즘을 설정해 부가 빈공층에서 부유층으로 흐르는 자연적인 흐름을 보정할 수 있다는 것이다. 관련 내용은 이곳에서 확인할 수 있다.